Mit dem österreichischen Zivilrecht kenne ich mich leider nicht aus. Allgemein ist es aber so, daß man bei Geltendmachung von Schadensersatzansprüchen, um solche ginge es bei den Schuhen ja, die Darlegungs- und Beweislast hat, daß es den behaupteten Schaden gibt, welche Höhe er hat, und daß er kausal einer Pflichtverletzung des in Anspruch zu nehmenden (hier des Vermieters) anzulasten ist. Womöglich weiß der Vermieter noch gar nichts von dem Schimmelbefall, oder dem Ausmaß des selbigen?
Im deutschen Recht muß man zudem aufpassen, ob man womöglich den Schaden selbst mit zu verantworten hat, beispielsweise weil man trotz des Wissens um den feuchten schimmeligen Raum dort noch Gegenstände aufbewahrt hat, die dadurch Schaden nehmen können (§ 254 BGB).